A martingala dos matemáticos não é a dos jogadores

A palavra é a mesma, a ideia é quase a oposta. O jogador chama « martingala » a um método que supostamente vence o jogo. O matemático chama « martingala » a um jogo que não se pode vencer — e é precisamente a teoria das martingalas que demonstra que o método do jogador falha.

A definição, em português corrente

Imagine que segue a sua fortuna ao longo de uma partida: 100 € no início, depois 110, depois 90, depois 105. Cada valor depende do acaso.

Esta sucessão é uma martingala se, em qualquer momento, a sua melhor previsão do valor seguinte for exatamente o valor atual — mesmo conhecendo todo o historial da partida. Tem 105 €: em média, depois da próxima jogada, continuará a ter 105 €. O passado não lhe dá nenhuma vantagem.

É a definição matemática de um jogo justo. Cara ou coroa com uma moeda perfeita, com apostas iguais, é o exemplo mais simples.

Para quem quiser a notação: uma sucessão X₀, X₁, X₂… é uma martingala se E[Xₙ₊₁ | X₀, …, Xₙ] = Xₙ para todo o n.

O casino não é uma martingala

No casino, o jogo não é justo: a roleta europeia paga 36 vezes a aposta por um número que tem uma hipótese em 37 de sair. Em média, cada jogada faz perder um pouco.

A sua fortuna não é, portanto, uma martingala, mas uma supermartingala: a melhor previsão de amanhã é inferior a hoje. Para o casino, é o inverso: a sua fortuna é uma submartingala, sobe em média.

O teorema que fecha a porta

O resultado central tem o nome de Joseph Doob, o matemático americano que construiu o essencial da teoria nos anos 1940 e 1950. Chama-se teorema de paragem:

Se jogar um jogo justo, nenhuma regra que decida quando parar lhe pode dar, em média, mais do que tinha no início. E se o jogo for desfavorável, nenhuma regra o pode tornar favorável.

« Paro assim que estiver a ganhar », « paro depois de três vermelhos », « paro aos 200 € de lucro »: enquanto a regra se basear apenas no que já aconteceu — não pode ler o futuro —, não muda a esperança.

Um segundo resultado diz respeito ao tamanho das apostas. Se, a cada jogada, escolher quanto apostar em função do passado — dobrar depois de uma perda, subir uma unidade, seguir a sucessão de Fibonacci —, a sua fortuna continua a ser uma martingala se o jogo era justo, e uma supermartingala se era desfavorável. Não se vence um jogo mudando o tamanho das apostas.

Então porque é que a martingala « funciona » no papel?

O teorema de paragem tem condições: supõe, conforme as versões, que a partida não dura indefinidamente, ou que os montantes em jogo são limitados. A martingala do jogador viola exatamente essas condições: supõe um capital ilimitado e nenhum limite de aposta. Nesse mundo imaginário, garante de facto um ganho de uma unidade.

Mas repare no preço. Para garantir esse ganho de uma unidade, é preciso estar disposto a arriscar, no pior dos casos, um montante sem limite. Assim que se reintroduz qualquer limite realista — capital finito, limite da mesa, duração de uma vida —, as condições voltam a verificar-se e a esperança volta a ser negativa.

O cálculo concreto, com os seus próprios números, está no simulador de ruína.

De onde vem a palavra em matemática

O termo foi introduzido em teoria das probabilidades pelo matemático francês Jean Ville, na sua tese de 1939, que o foi buscar deliberadamente ao vocabulário do jogo. Paul Lévy tinha estudado objetos da mesma natureza alguns anos antes. Foi depois Joseph Doob quem fez dela uma teoria geral, publicada em Stochastic Processes, em 1953.

Para que servem realmente as martingalas

• Em finanças, os preços atualizados dos ativos comportam-se como martingalas numa certa medida de probabilidade, na ausência de arbitragem: toda a avaliação de opções assenta nesta ideia.
• Em estatística, os testes sequenciais — os que decidem ao longo do tempo parar ou continuar um ensaio clínico — apoiam-se em martingalas.
• Em informática, desigualdades como a de Azuma-Hoeffding servem para provar que um algoritmo aleatório se comporta bem quase sempre.

Perguntas frequentes

O que é uma martingala em probabilidades?
Uma sucessão de valores aleatórios cuja esperança no instante seguinte, sabendo todo o passado, é igual ao valor presente. É a formalização de um jogo justo.

Qual é a diferença entre martingala e supermartingala?
Uma martingala modela um jogo justo; uma supermartingala, um jogo desfavorável. A fortuna de um jogador no casino é uma supermartingala.

Quem introduziu o termo em matemática?
Jean Ville, na sua tese de 1939. Joseph Doob fez dela uma teoria geral, publicada em 1953.